和声常套句間のbigram確率の近似

本報告では楽曲の和声は短い和声常套句の連鎖であると考え、和声進行モデルを 採用する。ここでは常套句として、1つの和声が2拍に対応した2小節長のものを 扱う。使用した和声は12音階それぞれを主音とする3音和音(長三和音・短三和音・ 増三和音・減三和音)48(12$\times$4)種類とし、今回は七の和音や変化和音は除 外する。豊富な和声常套句を得るために、バッハの四声のコラール(BWV 1-438 に含まれるカンタータ、モテット、受難曲、オラトリオ、および C.Ph.E.Bach 編纂のコラール集などに含まれる)のうち、4分の4拍子で冒頭に弱起をもたない 楽曲94曲から学習した。

常套句を用いることで、局所的には楽曲らしい自然な和声進行が実現できると考 えられる。しかし、従来の常套句連接モデル[18]では常套句間に遷 移則を与えていないため、常套句間の不自然な接続が現れることもあった。そこ で本報告では常套句間に遷移確率を与えることを試みる。常套句間のbigram確率 を統計学習して用いるためには多量の学習サンプルを必要とする。そこで常套句 間のbigram確率を近似するために、先行する常套句の最後の和声と後続する常套 句の最初の和声との2和声間遷移確率を用いる(図)。ある 和声進行 $H=(H'_1,\cdots,H'_T)$が出現する確率$P(H)$をある和声常套句$H'_i$ が出現する確率$P(H'_i)$と常套句間の遷移確率 $a_{H'_i,H'_{i+1}}$を用いて次 のように近似する。

$$P(H) = P(H'_1,\cdot\cdot\cdot,H'_T)\approx \prod _{i=1}^{T}P(H'_i) a_{H'_i H'_{i+1}}$$ (6)

図: bigram確率の近似